我不太確定警察職責範圍，不過我的觀感是認為

因失竊遺失→ 警察職責
民眾拾得失竊物後之保管並視情況主動尋找失主 → 警察職責
協助民眾自己弄丟的物品 → 非職責，但可視情況幫忙

之前親戚小孩走失有幫忙找過
沿途找商家及請警察附近幫忙調監視器，其實大家都很願意幫忙
不過過程中也發現其實查看監視器真的還蠻麻煩的，影像大多也不佳
一些店家及銀行小姐花人力跟時間陪我們在那看其實也蠻不好意思，畢竟是自己的疏失
如果是我的話除非遺失物品價值不菲或是有紀念價值，不然我會選擇自行找車隊或是廣播尋找
不會去找警察

不過樓主有找到，也有警察幫忙結局也算圓滿，中間的不愉快就忘了吧~