張量(跟協變微分有關的部分)不是愛因斯坦發明的,
而是Christoffel,Ricci,Levi-Civita等人為了方便理解
黎曼幾何,所創造的一些符號跟理論

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(1) 歷史的講法:

張量分析起源於微分幾何, 其奠基者是義大利數學家 Ricci-Curbastro
(1853-1925). 當時幾何學尚未發展出足夠抽象的語言. 幾何學家要定義
一個幾何量 (如曲面上的切向量, 二次式, 還有曲率) 時, 必須在特定
的座標系下描述. 然而, 一個幾何量應當與座標選取無關; 或者說, 同
一個幾何量在不同座標下的寫法, 應當能夠"相容", 亦即在座標變換下
滿足某類變換規則. Ricci 在二十世紀初發展了一套語言以完成這個目
的, 這就是張量.

(2) 抽象代數的講法:

設 R 為交換環, M_1,...,M_n 為 R-模. 則張量積 M_1@...@M_n 可刻畫
為唯一(至多差一個同構)的模 E 及多重線性映射 M_1×...×M_n --> G ,
滿足如下性質:

對每個模 G, 多重線性映射 M_1×...×M_n --> G, 存在唯一一個同態
E --> G, 使得以下的圖交換:

M_1×...×M_n ----> E
\ /
\ /
\ /
_\| |/_
G

除了原始的幾何應用, 張量積在代數領域也是方便的工具. 從範疇論的觀
點看, -@M 還是 Hom(M,-) 的伴隨函子.

(3) 微分幾何學的講法:

設 M 為光滑流形. TM 為其切叢, T*M 為餘切叢. 幾何上, 給定任兩個向量叢
E, F, 我們可以構造它們的張量積 E@F (在每一條纖維上進行 (2) 的構造,
然後黏起來). 所謂的 (r,s) 型張量, 不外就是 TM@...@TM @ T*M@...@T*M
(r 個) (s 個)
上的截影, 這類向量叢又稱張量叢. 在局部座標系下描述這些截影, 便回歸到
(1)的定義.