Icarus兄您客氣了,我也不過就是一個喜歡想想科學哲學問題(scientific philosophy)的人,我的個人見解只是融合了自己看過的科學和哲學書籍的內容後內化出來的看法,而且.....我發現我的答案不一定貼近真理....

來看看研究數學的學者怎麼說
以下是南一數學教科書編撰者 美國南卡羅萊大學數學博士林炎全博士的見解(轉貼):

一、 數學的本質

數學起源於需要。初民時代，不論生活多麼原始，總是會有涉及數量、長度、面積 及體積等的問題，為解決這些問題，乃有簡單的數字、算法產生。我們現在所看到的古代算書，大都是問題集的形式。每個問題有相對的『術』來解決，而『算』是許多『術』（ 即方法）的累積。這樣的數學，本質上是解決日常生活的工具，這些術，對一般使用者而言，是各別而互不相干的；題和術的配套是固定而刻板的，就像我們使用固定板手一樣，板手型號一定要配合螺絲帽的大小。隨著文明進化，要處理的問題越來越多，也越來越複雜；需要的術就越來越多，也越來越困難。許多數學家努力探索貫通這些術的脈絡──理。透過一般化和抽象化，許多以前被當做不相干的術，被納在相同的理論脈絡裡。例如：早期正方錐、長方錐、圓錐體積各有算法，現在所有的錐體，包括正錐、斜錐，體積都納在同一個公式：底面積與高乘積的三分之一。就像有了活動板手，就不必帶許多固定板手。

對於能接觸，能反覆經驗的事，先知們可以透過歸納以及演繹等途徑，建立理論體系；對於無法觸及的事情，如日月星辰的運行，先知們則設定它們是造物者根據數學原理的設計，也是根據數學原理而運行的。這個設定，不論是描述或預測天文現象，都非常有效，屢試不爽，久而久之，這個設定就被接受為真。至此，數學先於存在而存在，是絕對的、永恆不變的真理。這樣的數學，成為知識的核心。它帶領科學，走過宗教專制的黑暗時代；探索宇宙的數學結構，是認識造物主神功的不二法門，與研讀聖經一樣重要。

漸漸的，科學研究發現人常常只能感覺到表相。人所能聽到的聲頻及所能看到的光頻，頻寬都是很有限的，所以我們所看到、所聽到的，只是現象的一部分，如何能斷定為絕對的真理？人生難超過百年，人類有歷史不超過萬年，如何確認永恆的真理？做為演繹基礎的公設系統，是人類經驗的歸納，它的「真」是難以保證的。另外，做為推理規則的邏輯，也無法處理誖論，做為數學基礎的這兩根臺柱眼看就要崩塌。為此，許多數學家參與搶救的工作，努力為數學另立基礎。有的採邏輯主義，有的主形式主義，有的持直覺主義等等，這些主張都有其弱點，無法圓滿解決所有的問題，要做為數學的基礎，實在無法叫人完全放心。但人類總是可以繼續努力，希望還是有的。不幸的是數學家高德爾證明不完備性定理：如果一個形式理論足以容納數論並且無矛盾，則它必定是不完備的。所以數學並不是自滿無缺的，它一直有無法證明或證反的命題，這不是做為理論體系的形象。

數學及哲學家們檢視數學的角色及新近發展，給數學基礎找到新的出路──數學是人類智慧的創建，它深受文化差異、外在需求、民族特質等等因素的影響。古希臘（事實上只是幾個較開放的城邦）喜愛抽象玄思，注重推理嚴密，所以發展出架構結實，推理嚴密的古典幾何──它著重性質探討而不是數值結果。東方務實的民族性，則以算術和代數見長。早期的算術和代數是隨興發展的，以結果的正確保證方法的可靠。事實上，在方法需求的壓力下，近代微積分的發展，也是循這樣的途徑進行的。缺乏理論基礎的微積分，曾被視為數學的危機。但是做為歷史來回顧，這似乎是數學發展的常態途徑。不論是方法的開發或理論綴補，都充滿人為的成分。微積分是被發明的，而不是被發現的。非歐幾何則是沒有應用的實績，完全靠智慧經營起家。後來的發展證明這樣營造出來的數學，並不是科幻小說；它是發展相對論的要角。所以數學不是先在的，它是人類的創寓。

我們要強調，從工具、理論到創寓，這是數學本質的進展而不是變換。也就是說這一系列的本質是逐加上去的，而非一個取代另一個。不同的對象，會操持不同的層次。例如使用數學以解決工作上的問題的人，數學是一種工具；數學系的學生把數學當做理論，主要的工作是證明；研究數學的人則把數學視為創寓，開發新的數學內函是主要的工作。

在他的見解中,不完備性定理反而是否定數學超然性的有力註解,讓我們思索數學或許只是人類的創寓而不是先在的原則.
看來我又要好好想想了...